Monotonicity condition for the θ-scheme for diffusion equations

We derive the necessary and sufficient condition for the L∞−monotonicity of finite difference θ-scheme for a diffusion equation. We confirm that the discretization ratio ∆t = O(∆x) is necessary for the monotonicity except for the implicit scheme. In case of the heat equation, we get an explicit formula, which is weaker than the classical CFL condition. Key-words: Theta-scheme, monotonicity. ∗ We thank Nizar Touzi (CMAP) for fruitful discussions. † INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, and Laboratoire de Finance des Marchés d’Énergie, France ([email protected]). ‡ CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]), research supported by the Chair Financial Risks of the Risk Foundation sponsored by Société Générale, the Chair Derivatives of the Future sponsored by the Fédération Bancaire Française, and the Chair Finance and Sustainable Development sponsored by EDF and CA-CIB. in ria -0 06 34 41 7, v er si on 1 21 O ct 2 01 1 La condition de la monotonie du θ−schéma pour les équations de diffusion Résumé : Nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffissante de la monotonie du θ−schéma pour l’équation de diffusion en dimension un. Notre résultat confirme que le ratio de discrétisation ∆t = O(∆x) est nécéssaire pour la monotonice sauf le schéma implicite. Dans le cas de l’équation de la chaleur, nous obtenons la formule explicite, qui est plus faible que la condition CFL. Mots-clés : Theta-schéma, monotonie. in ria -0 06 34 41 7, v er si on 1 21 O ct 2 01 1 Monotonicity of theta-scheme 3